Wat hoort er allemaal tot dit gewicht? Is dat alleen het gewicht van de gassen in de lucht, of dragen vogels en vliegtuigen ook bij? Voor vogels is dit al eens experimenteel onderzocht: een doos met vogels werd twee keer gewogen, een keer met de vogels vliegend in de doos en een keer met de vogels op de bodem van de doos.
Het gewicht bleek in beide gevallen gelijk1. Dat doet vermoeden dat ook een vliegtuig dat vliegt net zo sterk op de grond drukt als een vliegtuig dat aan de grond staat. Maar een vliegtuig dat vliegt laat op de grond geen spoor van vernieling na. Zou de drukverhoging misschien verdeeld worden over een groot gebied rondom het vliegtuig en zo ja, hoe ziet het drukpatroon er dan uit?Het antwoord is gegeven door de Duitse natuurkundige Ludwig Prandtl (1875-1953), die afleidde2 dat Δp= mgh/(2π R3), waarbij Δp de drukverhoging is in een punt op de grond op afstand R van een vliegtuig met massa m bij een valversnelling g op een vlieghoogte h. Dit berekende hij uit de wet van Bernoulli, toegepast op het snelheidsveld dat samenhangt met de wervel rondom de vleugels van het vliegtuig. De aanname is dat de vlieghoogte groot is vergeleken met de grootte van het vliegtuig. De sterkte van de wervel en de opwaartse kracht die het vliegtuig in de lucht houdt, hangen samen volgens het zogenoemde Kutta-Joukowsky theorema. Het patroon van Δp is gelijk aan dat van de lichtsterkte, in W/m2, op een horizontaal vlak op afstand h onder een lichtbron die zijn gehele vermogen mg naar beneden uitzendt en in alle richtingen even sterk. Het vliegtuig schijnt als het ware zijn gewicht op de grond. De drukverhoging Δp is het grootst recht onder het vliegtuig (R=h), en is geïntegreerd over het gehele grondoppervlak gelijk aan mg. Een vliegtuig dat vliegt, drukt dus inderdaad net zo sterk op de grond als een vliegtuig dat aan de grond staat. Een Boeing 747 met een massa van 2•105 kg dat vliegt op een hoogte van 500 meter geeft recht onder het vliegtuig een Δp van 1 Pa, wat in het niet valt bij de luchtdruk zelf die ongeveer 10e5 Pa bedraagt.
Ter illustratie van bovenstaande theorie toont de linker figuur de drukvariaties als functie van de tijd voor een overvliegend vliegtuig. De gegevens zijn afkomstig van een infrageluid array op Groenland; het vliegtuig, van het type Dash 7, is bezig met de landing. De array bestaat uit een achttal microbarometers, waarmee laagfrequente, onhoorbare luchtdrukvariaties, infrageluid genaamd, worden gemeten (1 microbar = 0,1 Pa). De posities van de barometers zijn te zien in de rechter figuur. Onder het vliegtuig neemt de druk inderdaad toe. Indien we aannemen dat het vliegtuig recht boven punt 4 vloog, waar Δp het grootst is, volgt het gewicht van het vliegtuig eenvoudig uit bovengenoemde vergelijking voor Δp, waarbij R=h en Δp de amplitude van de drukpuls, die ongeveer 1,5 Pa bedraagt. De array ligt op 2500 m van de landingsbaan en de daalhoek is ongeveer 3º, zodat de hoogte h ongeveer 130 m is. Met een valversnelling g=9,8 m/s2 volgt hieruit een massa van ongeveer 16.000 kg. Het gewicht kan, na enige algebra toegepast op bovengenoemde vergelijking voor Δp, ook worden berekend uit de amplitude en de halfwaardebreedte van de drukpuls in punt 4. De hoogte van het vliegtuig hoeft dan niet bekend te zijn. De halfwaardebreedte volgt uit de halfwaardetijd van de drukpuls, zoals te zien in de linker figuur, en de snelheid van het vliegtuig. De snelheid volgt uit het tijdsverschil tussen de pulsen van de verschillende microbarometers (linker figuur) en hun onderlinge afstanden (rechter figuur). Het vliegtuig komt van rechtsonder, waar de puls het eerste optreedt. Er volgt een snelheid van 52 m/s en een halfwaardebreedte van 93 m, en een massa van ongeveer 14.000 kg (de berekening laten we hier achterwege). De massa’s volgens de microbarometer kloppen inderdaad met de voor dit type vliegtuig opgegeven lege massa van 12.000 kg en maximum opstijgmassa van 20.000 kg. Zo meet een remote sensing microbarometer het gewicht van een laag overvliegend vliegtuig.
1 http://kwc.org/mythbusters/2007/04/episode_77_birds_in_a_truck_bi.html
2 Prandtl, L. en Tietjens, O.G., Applied Hydro- and Aeromechanics, Dover Publications, 1957, blz. 186.